Question

袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是黑球的概率為

2

7

，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數(shù)．
（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求乙取到白球的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)袋中原有n個(gè)黑球，由題意知

1

7

=

C 2 n

C 2 7

，求出黑球有4個(gè)，白球有3個(gè)．由題意，ξ的可能取值為1，2，3，4，5，分別求出其概率，由此能求出ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）由乙后取，知乙只有可能在第二次，第四次取球，由此能求出乙取到白球的概率．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)袋中原有n個(gè)黑球，
由題意知

1

7

=

C 2 n

C 2 7

…（1分）
=

n(n-1) 2

7×6 2

=

n(n-1)

7×6

，
解得n=4或n=-3（舍去） …（3分）
∴黑球有4個(gè)，白球有3個(gè)．
由題意，ξ的可能取值為1，2，3，4，5…（4分）
P(ξ=1)=

3

7

；P(ξ=2)=

4×3

7×6

=

2

7

，
P(ξ=3)=

4×3×3

7×6×5

=

6

35

，
P(ξ=4)=

4×3×2×3

7×6×5×4

=

3

35

，
P(ξ=5)=

4×3×2×1×3

7×6×5×4×3

=

1

35

…（7分）（錯(cuò)一個(gè)扣一分，最多扣3分）
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4	5
P	3 7	2 7	6 35	3 35	1 35

…（8分）
所以數(shù)學(xué)期望為：Eξ=

3

7

+2×

2

7

+3×

6

35

+4×

3

35

+5×

1

35

=2…（9分）
（Ⅱ）∵乙后取，
∴乙只有可能在第二次，第四次取球，
記乙取到白球?yàn)槭录嗀，
則P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=

2

7

+

3

35

=

13

35

，…（11分）
答：乙取到白球的概率為

13

35

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．