Question

如圖，過橢圓L的左頂點A（-3，0）和下頂點B且斜率均為k的兩直線l₁，l₂分別交橢圓于C，D，又l₁交y軸于M，l₂交x軸于N，且CD與MN相交于點P，當k=3時，△ABM是直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓L的標準方程；
（Ⅱ）（i）證明：存在實數λ，使得

AM

=λ

OP

；
（ii）求|OP|的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據當k=3時，△ABM是直角三角形，左頂點A（-3，0）和下頂點B，求出b的值，即可求橢圓L的標準方程；
（Ⅱ）（i）設兩直線l₁，l₂的方程分別為y=k（x+3）和y=kx-1，求出C，D的坐標，可得P的坐標，即可得到存在實數λ，使得

AM

=λ

OP

；
（ii）確定P的軌跡方程，可得|OP|的最小值，即可求|OP|的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：由題意，
∵當k=3時，△ABM是直角三角形，左頂點A（-3，0）和下頂點B
∴

0+b

-3

=-

1

3

，
∴b=1，
∴橢圓L的標準方程為

x2

9

+y2=1；
（Ⅱ）（i）證明：設兩直線l₁，l₂的方程分別為y=k（x+3）和y=kx-1，其中k≠0，則M（0，3k），N（

1

k

，0）．
y=k（x+3）代入橢圓方程可得（1+9k²）x²+54k²x+81k²-9=0，
方程一根為-3，則由韋達定理可得另一根為

3-27k2

1+9k2

，
∴C（

3-27k2

1+9k2

，

6k

1+9k2

）．
同理D（

18k

1+9k2

，

9k2-1

1+9k2

）
∵兩直線l₁，l₂平行，
∴可設

MP

=t

MN

，

CP

=t

CD

，從而可得P（

3

1+3k

，

3k

1+3k

）
∴

OP

=（

3

1+3k

，

3k

1+3k

）
∵

AM

=（3，3k），
∴存在實數λ=1+3k，使得

AM

=λ

OP

；
（ii）∵

OP

=（

3

1+3k

，

3k

1+3k

），
∴消去參數可得P的軌跡方程為x+3y-3=0，
∴|OP|的最小值為d=

|-3|

10

=

3 10

10

∴|OP|的取值范圍為[

3 10

10

，+∞）．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．