【題目】在平面直角坐標系中，點，分別為橢圓C：的左右焦點，橢圓的離心率為，點在橢圓C上，不在軸上的動點P與動點Q關(guān)于原點O對稱，且四邊形的周長為.

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）在動點P的軌跡上有兩個不同的點M，N，線段MN的中點為G，已知點在圓上，求的最大值，并判斷此時ΔOMN的形狀.

【答案】（1）；（2）最大值為，ΔOMN是直角三角形

【解析】

（1）題中先求得的坐標，即，可利用離心率和點在橢圓上　結(jié)合解得，動點P與動點Q關(guān)于原點O對稱，且四邊形的周長為.可得點軌跡是橢圓，且長軸長已知，焦距已知，只要再求得短半軸長即得，注意方程中；

（2）由用點都在橢圓上可求得，用兩點間距離公式表示出，代入和，并利用基本不等式可求得最大值．根據(jù)取得最大值時的條件得是直角三角形．

（1）設(shè)點，的坐標分別為，

由已知可知，又，所以可得，則，

連接PQ，因為，OP=OQ，所以四邊形為平行四邊形.

因為四邊形的周長為，所以，

所以動點P的軌跡是以點，分別為左、右焦點，長軸長為的橢圓（除去左、右頂點），可得動點P的軌跡方程為

（2）因為，，，所以，

所以

.

當且僅當，即時，等號成立，

所以的最大值為，此時，即，即是直角三角形．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】2019年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計劃引進一批新能源汽車制造設(shè)備，通過市場分析，全年需投入固定成本3000萬元，每生產(chǎn)x（百輛），需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車售價6萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.

（1）求出2019年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售額成本）

（2）2019年產(chǎn)量為多少（百輛）時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.

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【題目】四邊形中，，且，為中點，連接，如圖（1），將其沿折起使得平面平面，平面平面，連接，如圖（2）.

（1）證明：圖（2）中的四點共面；

（2）求圖（2）中平面與平面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】函數(shù),當時,恒成立,則的最大值是_____.

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【題目】第28屆金雞百花電影節(jié)將于11月19日至23日在福建省廈門市舉辦，近日首批影展片單揭曉，《南方車站的聚會》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》《抵達之謎》五部優(yōu)秀作品將在電影節(jié)進行展映.若從這五部作品中隨機選擇兩部放在展映的前兩位，則《春潮》與《抵達之謎》至少有一部被選中的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】江心洲有一塊如圖所示的江邊，，為岸邊，岸邊形成角，現(xiàn)擬在此江邊用圍網(wǎng)建一個江水養(yǎng)殖場，有兩個方案：方案l：在岸邊上取兩點，用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊線圍成三角形（，兩邊為圍網(wǎng)）；方案2：在岸邊，上分別取點，用長度為的圍網(wǎng)依托岸邊圍成三角形.請分別計算，面積的最大值，并比較哪個方案好.

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【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）＝｜x﹣m｜+｜x｜，m∈N*，存在實數(shù)x使f（x）＜2成立．

（1）求實數(shù)m的值；

（2）若α≥1，β≥1，f（α）+f（β）＝4，求證：≥3．

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【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，，點E在BC上，．

（1）求證：平面平面PAC；

（2）若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為，求二面角的余弦值．

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【題目】2019年2月13日《煙臺市全民閱讀促進條例》全文發(fā)布，旨在保障全民閱讀權(quán)利，培養(yǎng)全民閱讀習慣，提高全民閱讀能力，推動文明城市和文化強市建設(shè)．某高校為了解條例發(fā)布以來全校學(xué)生的閱讀情況，隨機調(diào)查了200名學(xué)生每周閱讀時間（單位：小時）并繪制如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求這200名學(xué)生每周閱讀時間的樣本平均數(shù)和中位數(shù)（的值精確到0.01）；

（2）為查找影響學(xué)生閱讀時間的因素，學(xué)校團委決定從每周閱讀時間為，的學(xué)生中抽取9名參加座談會．

（i）你認為9個名額應(yīng)該怎么分配？并說明理由；

（ii）座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多．請根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù)，填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為學(xué)生閱讀時間不足（每周閱讀時間不足8.5小時）與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)？

閱讀時間不足8.5小時

閱讀時間超過8.5小時

理工類專業(yè)

40

60

非理工類專業(yè)

附：（）.

臨界值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

<>

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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