Question

4．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sin6x+{e}^{-3ax}-1}{3x}，x≠0}\\{a，x=0}\end{array}\right.$在點(diǎn)x=0連續(xù)，則a=1．

Answer 1

分析 由f（x）在點(diǎn)x=0連續(xù)，$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin6x+{e}^{-3ax}-1}{3x}$=f（a），根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小代換，即可求得a的值．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{sin6x+{e}^{-3ax}-1}{3x}，x≠0}\\{a，x=0}\end{array}\right.$在點(diǎn)x=0連續(xù)，
由等價(jià)無(wú)窮小代換：sin6x=6x，e^-3ax-1=-3ax，
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sin6x+{e}^{-3ax}-1}{3x}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{6x-3ax}{3x}$=2-a，
∴2-a=a，
∴a=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，等價(jià)無(wú)窮小代換，考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題得能力，屬于中檔題．