Question

15．如圖，以BC為斜邊的等腰直角三角形ABC與等邊三角形ABD所在平面互相垂直，且點E滿足$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$．
（1）求證：平面EBC⊥平面ABC；
（2）求二面角E-AC-B的大�。�

Answer 1

分析 （1）取AB中點O，BC中點F，連結OP，OF，以O為原點，OF為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面EBC⊥平面ABC．
（2）求出平面AEC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角E-AC-B的大小．

解答 證明：（1）∵以BC為斜邊的等腰直角三角形ABC與等邊三角形ABD所在平面互相垂直，且點E滿足$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，
取AB中點O，BC中點F，連結OP，OF，則OP⊥平面ABC，OF⊥AB，
∴以O為原點，OF為x軸，OB為y軸，OD為z軸，建立空間直角坐標系，
設AB=2，則E（1，0，$\sqrt{3}$），B（0，1，0），C（2，-1，0），
$\overrightarrow{EB}$=（-1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{EC}$=（1，-1，-$\sqrt{3}$），
設平面EBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=-x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=x-y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，0），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
∴平面EBC⊥平面ABC．
解：（2）A（0，-1，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（2，0，0），
設平面AEC的法向量$\overrightarrow{p}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AE}=x+y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{p}•\overrightarrow{AC}=2x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{p}$=（0，$\sqrt{3}$，-1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角E-AC-B的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{p}|}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°，
∴二面角E-AC-B的大小為60°．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．