已知圓 O：x2+y2=4，圓內(nèi)有定點(diǎn)P（1，1），圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，使PA⊥PB，則矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程為
 
．
分析：設(shè)出A、B和Q的坐標(biāo)，由AB與PQ的中點(diǎn)相同得到A、B和Q的坐標(biāo)的關(guān)系，再由
PA
•
PB
=0得到A、B和Q的坐標(biāo)的關(guān)系，然后結(jié)合A，B在圓上及|AB|=|PQ|列式后消掉A，B的坐標(biāo)，得到關(guān)于Q的橫縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，則答案可求．
解答：解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），又P（1，1），
則x1+x2=x+1，y1+y2=y+1，
PA
=(x1-1，y1-1)，
PB
=(x2-1，y2-1)．
由PA⊥PB，得
PA
•
PB
=0，即（x1-1）（x2-1）+（y1-1）（y2-1）=0．
整理得：x1x2+y1y2-（x1+x2）-（y1+y2）+2=0，
即x1x2+y1y2=x+1+y+1-2=x+y     ①
又∵點(diǎn)A、B在圓上，∴x12+y12=x22+y22=4    ②
再由|AB|=|PQ|，得(x1-y1)2+(x2-y2)2=(x-1)2+(y-1)2，
整理得：x12+y12+x22+y22-2(x1y1+x2y2)=(x-1)2+(y-1)2  ③
把①②代入③得：x2+y2=6．
∴矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程為：x2+y2=6．
故答案為：x2+y2=6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用代入法求曲線的方程，是中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切并與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）設(shè)b=f（k），求f（k）的表達(dá)式，并注明k的取值范圍；
（Ⅱ）若
OA
•
OB
=
2
3
，求直線l的方程；
（Ⅲ）若
OA
•
OB
=m（
2
3
≤m≤
3
4
），求△OAB面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓O：x2+y2=1，直線l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圓的一條切線，且l與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的兩點(diǎn)A，B．
（1）若弦AB的長(zhǎng)為
4
3
，求直線l的方程；
（2）當(dāng)直線l滿足條件（1）時(shí)，求
OA
•
OB
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=r12（r1＞0）與圓C：（x-a）2+（y-b）2=r22（r2＞0）內(nèi)切，且兩圓的圓心關(guān)于直線l：x-y+
2
=0對(duì)稱．直線l與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在圓O上，且滿足
OM
=
OA
+
OB

（1）求圓O的半徑r1及圓C的圓心坐標(biāo)；
（2）求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓O：x2+y2=1，圓C：（x-4）2+y2=4，P（m，n）（m•n≠0）是圓O和圓C外一點(diǎn)．
（1）過點(diǎn)P作圓O的兩切線PA、PB，如圖①，試用m，n表示直線AB的斜率；
（2）過點(diǎn)P分別向圓O，圓C引兩條切線PA，PB和PM，PN，其中A，B，M，N為切點(diǎn)如圖②，試在直線x+y-4=0上求一點(diǎn)P，使AB⊥MN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

.已知圓O：x2+y2=b2與直線l：y=
3
(x-2)相切．
（1）求以圓O與y軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線在x軸上的截距為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓C方程；
（2）已知點(diǎn)A(1，
3
2
)，若直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)E，F(xiàn)，且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)；問直線的斜率是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

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