Question

數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為1，且前n項(xiàng)和S_n滿足S_n-S_n-1=

S

+

Sn-1

（n≥2）
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{

1

b nbn-1

}的前n項(xiàng)和為T_n，問(wèn)滿足T_n＞

1001

2012

的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把已知等式的左邊展開(kāi)平方差公式，約分后得到

Sn

-

Sn-1

=1，得到數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得通項(xiàng)后然后由b_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列{

1

b nbn-1

}的前n項(xiàng)和為T_n，再由T_n＞

1001

2012

解得滿足T_n＞

1001

2012

的最小正整數(shù)n．

解答： 解：（1）∵Sn-Sn-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=(

Sn

+

Sn-1

)(n≥2)
=(

Sn

+

Sn-1

)(n≥2)
又b_n＞0，

Sn

＞0，
∴

Sn

-

Sn-1

=1；
數(shù)列{

Sn

}構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=1+(n-1)×1=n，Sn=n2
當(dāng)n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1；
n=1時(shí)，也適合上式．
∴bn=2n-1(n∈N*)；
（2）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；
由Tn=

n

2n+1

＞

1001

2012

，得n＞

1001

10

，
∴滿足Tn＞

1001

2012

的最小正整數(shù)為101．

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了不等式的解法，是中檔題．