Question

（2012•臺(tái)州模擬）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把題設(shè)等式中的邊換成角的正弦，進(jìn)而利用兩角和公式化簡整理求得cosB的值，從而求得B．
（Ⅱ）由余弦定理得可得a²+c²-ac=4，結(jié)合a²+c²-ac≥ac，可求得ac的最大值，代入△ABC的面積公式，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由題意，∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinA•cosB-sinC•cosB=sinBcosC，化為：2sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC，
∴2sinA•cosB=sin（B+C）．
∵在△ABC中，sin（B+C）=sinA，
∴2sinA•cosB=sinA，解得：cosB=

1

2

，故B=

π

3

．
（Ⅱ）若b=2，由余弦定理得：a2+c2-2ac•cos

π

3

=4，即a²+c²-ac=4
又a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4（取=時(shí)，a=c=

3

），
故△ABC的面積S=

1

2

ac•sinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

，故△ABC的面積的最大值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以三角形為載體，主要考查了正弦定理的運(yùn)用，考查兩角和公式、誘導(dǎo)公式，以及基本不等式的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．