Question

常用以下方法求函數(shù)y=[f（x）]^g（x）的導(dǎo)數(shù)：先兩邊同取以e為底的對數(shù)（e≈2.71828…，為自然對數(shù)的底數(shù)）得lny=g（x）lnf（x），再兩邊同時求導(dǎo)，得

1

y

•y′=g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′，即y′=[f（x）]^g（x）{g′（x）lnf（x）+g（x）•[lnf（x）]′}．運用此方法可以求函數(shù)h（x）=x^x（x＞0）的導(dǎo)函數(shù)．據(jù)此可以判斷下列各函數(shù)值中最小的是（　　）

• A、h（

  1

  3

  ）
• B、h（

  1

  e

  ）
• C、h（

  1

  2

  ）
• D、h（

  2

  e

  ）

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)的運算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)定義，先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，解不等式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（h（x））′=x^x[x′lnx+x（lnx）′]
=x^x（lnx+1），
令h（x）′＞0，解得：x＞

1

e

，令h（x）′＜0，解得：0＜x＜

1

e

，
∴h（x）在（0，

1

e

）遞減，在（

1

e

，+∞）遞增，
∴h（

1

e

）最小，
故選：B．

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，極值的求法，基本知識的考查．