Question

16．已知直線l：（2k+1）x+（k-1）y-（4k-1）=0（k∈R）與圓C：x²+y²-4x-2y+1=0交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求|AB|最小時(shí)直線l的方程，并求此時(shí)|AB|的值；
（2）求過(guò)點(diǎn)P（4，4）的圓C的切線方程．

Answer 1

分析 （1）直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（1，2）．判斷出點(diǎn)M（1，2）在圓C的內(nèi)部，所以當(dāng)直線l⊥MC時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|取得最小值；
（2）分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）直線l的方程可化為（2x+y-4）k+（x-y+1）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y-4=0\\ x-y+1=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$，故直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M（1，2）．
判斷出點(diǎn)M（1，2）在圓C的內(nèi)部，所以當(dāng)直線l⊥MC時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|取得最小值，
因?yàn)閳AC：x²+y²-4x-2y+1=0，所以圓心C（2，1），半徑r=2，${k_{MC}}=\frac{1-2}{2-1}=-1$，k₁=1，即y-2=x-1，
所以直線l的方程為x-y+1=0，此時(shí)$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{{|{MC}|}^2}}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$．
（2）由題意知，點(diǎn)P（4，4）不在圓上，
①當(dāng)所求切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為$m＜\sqrt{10}-1$，即kx-y-4k+4=0，
由圓心到切線的距離等于半徑，得$\frac{{|{2k-1+4-4k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{5}{12}$，
所以所求切線的方程為5x-12y+28=0．
②當(dāng)所求切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=4，
綜上，所求切線的方程為x=4或5x-12y+28=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長(zhǎng)的計(jì)算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．