Question

5．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=a，且a_n+1=k（a_n+a_n+2）對(duì)任意正整數(shù)都成立，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n
（1）若k=$\frac{1}{2}$且S₂₀₁₇=2017a，求a
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列{a_n}是公比不為1的等比數(shù)列，且對(duì)任意相鄰三項(xiàng)a_m，a_m+1，a_m+2按某順序排列后成等差數(shù)列？若存在，求出所有的k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若k=-$\frac{1}{2}$，求S_n．

Answer 1

分析 （1）k=$\frac{1}{2}$時(shí)，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，即可證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．再利用通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}是公比不為1的等比數(shù)列，公比q=a．可得a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1．通過分類討論，利用等差中項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（3）$k=-\frac{1}{2}$，則a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n），即可得出．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n），即可得出．

解答 解：（1）k=$\frac{1}{2}$時(shí)，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
a₁=1，公差d=a₂-a₁=a-1．
S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$（a-1），∴2017a=2017+$\frac{2017×2016}{2}$（a-1），解得a=1．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}是公比不為1的等比數(shù)列，公比q=a．
∴a_m=a^m-1，a_m+1=a^m，a_m+2=a^m+1．
①若a_m+1為等差中項(xiàng)，則2a_m+1=a_m+a_m+2，即2a^m=a^m-1+a^m+1，解得a=1，不合題意，舍去．
②若a_m為等差中項(xiàng)，則2a_m=a_m+1+a_m+2，即2a^m-1=a^m+a^m+1，化簡(jiǎn)a²+a-2=0，解得a=-2，或1（舍去）．
k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$．
③若a_m+2為等差中項(xiàng)，則2a_m+2=a_m+a_m+1，即2a^m+1=a^m-1+a^m，化簡(jiǎn)2a²-a-1=0，解得a=-$\frac{1}{2}$，或1（舍去）．
k=$\frac{{a}_{m+1}}{{a}_{m}+{a}_{m+2}}$=$\frac{{a}^{m}}{{a}^{m-1}+{a}^{m+1}}$=$\frac{a}{1+{a}^{2}}$=-$\frac{2}{5}$．
綜上可得：k=-$\frac{2}{5}$．
（3）$k=-\frac{1}{2}$，則a_n+1=-$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2），a_n+2+a_n+1=-（a_n+1+a_n），a_n+3+a_n+2=-（a_n+2+a_n+1）=a_n+1+a_n，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=$\frac{n}{2}$（a₁+a₂）=$\frac{n}{2}（a+1）$．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）
=a₁+$\frac{n-1}{2}$（a₂+a₃）=a₁+$\frac{n-1}{2}[-（{a}_{1}+{a}_{2}）]$=1-$\frac{a-1}{2}$（a+1），n=1時(shí)也適合．
綜上可得：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{n-1}{2}（a+1），n為奇數(shù)}\\{\frac{n}{2}（a+1），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式、分組求和方法，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．