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20.在底面為正三角形的三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AA1⊥平面ABC,E,F(xiàn)分別為BB1,AC的中點(diǎn).
(1)求證:BF∥平面A1EC;
(2)若AA1=22,求二面角C-EA1-A的大�。�
(2)若AA1=22,求三棱錐C1-A1EC的體積.

分析 (1)取A1C的中點(diǎn)H,連結(jié)HE,HF,推導(dǎo)出四邊形EBFH為平行四邊形,由此能證明BF∥平面A1EC.
(2)設(shè)AB中點(diǎn)為G,連結(jié)EG,CG,推導(dǎo)出∠GEC為二面角C-EA1-A的平面角,由此能求出二面角C-EA1-A的大小.
(3)三棱錐C1-A1EC的體積VC1A1EC=VEA1C1C,由此能求出結(jié)果.

解答 證明:(1)取A1C的中點(diǎn)H,連結(jié)HE,HF,
則HF∥A1A,HF=12A1A,
∴EB∥HF,且EB=HF,
∴四邊形EBFH為平行四邊形,
∴BF∥EH,且EH?平面A1EC,BF?平面A1EC,
∴BF∥平面A1EC.
解:(2)設(shè)AB中點(diǎn)為G,連結(jié)EG,CG,
∵CG⊥AB,CG⊥AA1,AB∩AA1=A,
∴CG⊥平面BAA1B1,
∴CG⊥EA1,且EC=A1E=6,A1C=22
∴A1E2+EC2=A1C2,∴EC⊥EA1,
∵CG∩EC=C,∴EA1⊥平面EGC,∴EG⊥EA1,
∴∠GEC為二面角C-EA1-A的平面角,
且EG=GC=3,EC=6
∴∠GEC=45°.
∴二面角C-EA1-A的大小為45°.
(3)三棱錐C1-A1EC的體積:
VC1A1EC=VEA1C1C=13×BF×SA1C1C
=13×3×12×2×22=263

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的大小的求法,考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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