Question

直線l：y=k（x+2）與橢圓

x2

2

+y²=1相較于A、B兩點，O為坐標原點，若以OA、OB為；鄰邊作平行四邊形OAPB．
（1）求P點的軌跡方程；
（2）是否存在直線l，使OAPB為矩形，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立

y=k(x+2) x2+2y2=2

，得：（1+2k²）x²+8k²x-2+8k²=0，由此利用韋達定理和平面向量的運算法則能求出P點的軌跡方程；
（2）假設存在直線l，使OAPB為矩形．由于OA⊥OB，則有x₁x₂+y₁y₂=0，運用韋達定理及點在直線上滿足直線方程，化簡整理得到k的方程，解出k，注意檢驗判別式是否大于0．

解答： 解：（1）聯(lián)立

y=k(x+2) x2+2y2=2

，
得：（1+2k²）x²+8k²x-2+8k²=0，
∵以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，
即有

OP

=

OA

+

OB

，
設P（x，y），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

8k2

1+2k2

，
y₁+y₂=（kx₁+2k）+（kx₂+2k）=k（x₁+x₂）+4k=

4k

1+2k2

，
∴

x=x1+x2=- 8k2 1+2k2 y=y1+y2= 4k 1+2k2

，∴k=-

x

2y

，代入上式，得，x²+2y²+4x=0．
∴P點的軌跡方程為x²+2y²+4x=0；
（2）假設存在直線l，使OAPB為矩形．
由（1）得，x₁+x₂=-

8k2

1+2k2

，x₁x₂=

8k2-2

1+2k2

，
y₁y₂=（kx₁+2k）（kx₂+2k）=k²x₁x₂+2k²（x₁+x₂）+4k²
=

2k2

1+2k2

，
由于OA⊥OB，則有x₁x₂+y₁y₂=0，即為

8k2-2

1+2k2

+

2k2

1+2k2

=0，
解得，k=±

5

5

．
檢驗：判別式△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=

24

5

＞0，成立．
故存在直線l：y=±

5

5

（x+2），使OAPB為矩形．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用，以及判別式大于0的條件．