Question

在平面直角坐標系xOy中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的極坐標方程為ρcos（θ+

π

4

）=

2

，曲線C₂的參數(shù)方程為

x=sinα y=cos2α

（α為參數(shù)），α∈[0，2π）．
（1）求曲線C₁ 的普通方程；
（2）試判斷曲線C₁與C₂有無公共點，并說明理由．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標方程

專題：

分析：（1利用公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，以及兩角和的余弦公式化簡曲線C₁的方程，可得它的普通方程；
（2）由平方關(guān)系消去參數(shù)得到曲線C₁的普通方程，再在同一個坐標系中畫出曲線C₁與C₂的圖象，由圖判斷出它們無公共點．

解答： 解：（1）由ρcos（θ+

π

4

）=

2

得，ρ（cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

）=

2

，
則ρcosθ-sinθ=2，即x-y-2=0，
所以曲線C₁ 的普通方程是：x-y-2=0；
（2）由

x=sinα y=cos2α

得，

x=sinα y=1-sin2α

，消去參數(shù)得，y=1-x²（-1≤x≤1），
所以曲線C₂ 的普通方程是y=1-x²（-1≤x≤1），
在同一個坐標系中畫出曲線C₁與C₂的圖象，
由圖得，曲線C₁與C₂有無公共點．

點評：本題考查了把參數(shù)方程、極坐標方程分別化為普通方程，兩角和的余弦公式和平方關(guān)系，二次函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合思想．