設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=n,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項;
(2)設(shè)bn=
pn-1an
(p為非零常數(shù)),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
分析:(1)由a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=n,n∈N*可知,a1+2a2+3a3+4a4+…+(n-1)an-1=n-1,從而可求得數(shù)列{an}的通項;
(2)利用錯位相減法即可求得數(shù)列{bn}的前n項和Sn
解答:解:(1)∵a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=n,n∈N*,①
∴當(dāng)n≥2時,a1+2a2+3a3+4a4+…+(n-1)an-1=n-1,n∈N*
∴①-②得:nan=1.
∴an=
1
n
(n≥2).又在①中,a1=1,符合an=
1
n
(n≥2).
∴an=
1
n
,n∈N*
(2)∵bn=
pn-1
an
(p為非零常數(shù)),an=
1
n
,n∈N*,
∴bn=npn-1,
∴Sn=1+2p+3p2+…+npn-1,
∴pSn=p+2p2+…+(n-1)pn-1+npn,
∴(1-p)Sn=1+p+p2+…+pn-1-npn=
1-pn
1-p
-npn,
當(dāng)p=1時,Sn=1+2+…+n=
(1+n)n
2
;
當(dāng)p≠1時,Sn=
1-pn
(1-p)2
-
npn
1-p
;
∴Sn=
(1+n)n
2
,n=1
1-pn
(1-p)2
-
npn
1-p
,n≥2
點評:本題考查數(shù)列的求和,突出錯位相減法求和的考查,考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,且對任意的n∈N*,點Pn(n,an)都有
.
PnPn+1
=(1,2)
,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.如:若cn=
4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時.
則{cn}
是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列.
(I)設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.求證:{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列,并求其通項公式:
(Ⅱ)設(shè)(I)中的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,試研究:是否存在實數(shù)a,使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項都等于50.若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•日照一模)若數(shù)列{bn}:對于n∈N*,都有bn+2-bn=d(常數(shù)),則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列.如數(shù)列cn:若cn=
4n-1,當(dāng)n為奇數(shù)時
4n+9,當(dāng)n為偶數(shù)時
,則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=a,對于n∈N*,都有an+an+1=2n.
(Ⅰ)求證:{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列;
(Ⅱ)求證:{an}的通項公式及前20項和S20

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,a2+a4=6,且對任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0
cn=an+
1
2an
,則數(shù)列{cn}的前n項和Sn為( 。
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1=1-
1
an
,令An=a1a2an,則A2013
=( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案