Question

已知奇函數(shù)f（x）在（-

1

2

，

1

2

）上是減函數(shù)，并且f（1-sinα）+f（1-sin²α）＜0，求角α的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)函數(shù)的定義域，單調(diào)性和奇偶性，可將不等式轉(zhuǎn)化為：-

1

2

＜sin²α-1＜1-sinα＜

1

2

，解得：

2

2

＜sinα＜1，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的定義，得到角α的取值范圍．

解答： 解：∵奇函數(shù)f（x）在（-

1

2

，

1

2

）上是減函數(shù)，
則不等式f（1-sinα）+f（1-sin²α）＜0可化為：f（1-sinα）＜-f（1-sin²α），
即f（1-sinα）＜f（sin²α-1），
即-

1

2

＜sin²α-1＜1-sinα＜

1

2

，
解得：

2

2

＜sinα＜1，
故α∈（

π

4

+2kπ，

π

2

+2kπ）∪（

π

2

+2kπ，

3π

4

+2kπ），（k∈Z）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是函數(shù)與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．