Question

1．設(shè)O為△ACB中一點(diǎn)，滿足|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=0，求△ACB的面積．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，可得O為△ACB的外接圓的圓心，且外接圓半徑為1，把$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$移向平方，化簡得到∠AOB=120°，同理得到∠AOC=∠BOC=120°，則△ACB為等邊三角形，利用余弦定理求出邊長，則三角形面積可求．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
∴O為△ACB的外接圓的圓心，且外接圓半徑為1，
又$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{OC}$，
兩邊平方得，$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）^{2}=|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|cos∠AOB$=$|-\overrightarrow{OC}{|}^{2}$，
∴cos$∠AOB=-\frac{1}{2}$，則∠AOB=120°，
同理求得∠AOC=∠BOC=120°，
則△ACB為等邊三角形，
∴邊長為$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}-2×1×1×cos120°}$=$\sqrt{2-2×（-\frac{1}{2}）}=\sqrt{3}$，
∴一邊上的高為$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}=\frac{3}{2}$．
∴△ACB的面積為S=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的三角形法則，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了三角形面積的求法，是中檔題．