Question

14．已知f（x）=|3x+$\frac{1}{a}$|+3|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，求f（x）≥8的解集；
（Ⅱ）對任意a∈（0，+∞），任意x∈R，f（x）≥m恒成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的解析式，對x討論，當x≥1時，當-$\frac{1}{3}$＜x＜1時，當x≤-$\frac{1}{3}$時，化簡f（x），再解不等式，最后求并集即可；
（Ⅱ）運用絕對值不等式的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，可得f（x）的最小值為2$\sqrt{3}$，再由不等式恒成立思想，可令m不大于最小值，即可得到m的最大值．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，則f（x）=|3x+1|+|3x-3|，
則當x≥1時，f（x）=3x+1+3x-3=6x-2≥8，解得x≥$\frac{5}{3}$，則為x≥$\frac{5}{3}$；
當-$\frac{1}{3}$＜x＜1時，f（x）=3x+1+3-3x=4≥8，無解，則x∈∅；
當x≤-$\frac{1}{3}$時，f（x）=-3x-1+3-3x=2-6x≥8，解得x≤-1，則為x≤-1．
綜上可得x≤-1或x≥$\frac{5}{3}$．
則解集為（-∞，-1]∪[$\frac{5}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|3x+$\frac{1}{a}$|+3|x-a|≥|（3x+$\frac{1}{a}$）+（3a-3x）|=|$\frac{1}{a}$+3a|=3a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{3a•\frac{1}{a}}$=2$\sqrt{3}$，
當且僅當3a=$\frac{1}{a}$即a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，取得最小值2$\sqrt{3}$．
由于任意x∈R，f（x）≥m恒成立，
則m≤2$\sqrt{3}$．
即有m的最大值為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論的思想方法，考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．