Question

已知向量

a

=（sin2x，

3

），b=（1，-cos2x），x∈R．
（1）若

a

⊥

b

，且0＜x＜

π

2

，求x的值；
（2）求函數(shù)f（x）=

a

•

b

的單調(diào)增區(qū)間（結(jié)果用開區(qū)間表示）．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由

a

⊥

b

，得

a

•

b

=0，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換，求出x的值；
（2）化簡f（x），利用正弦函數(shù)y=sinx的單調(diào)性，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
∴sin2x-

3

cos2x=0；
∴tan2x=

sin2x

cos2x

=

3

；
又∵0＜x＜

π

2

，
∴0＜2x＜π；
∵在（0，π）內(nèi)只有

π

3

的正切值為

3

，
∴2x=

π

3

，∴x=

π

6

；
（2）∵f（x）=

a

•

b

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間為（-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ），k∈Z；
∴令-

π

2

+2kπ＜x＜

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

π

12

+kπ＜x＜

5π

12

+kπ，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ），k∈Z．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．