Question

【題目】一直函數(shù),其中
（1）討論的單調(diào)性
（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有
（3）若關(guān)于的方程（為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)根,求證：

Answer 1

【答案】
（1）

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減1

（2）

見解答

（3）

見解答

【解析】（1）由,可得，其中且，下面分兩種情況討論：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：令,解得或，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：

x	(-,-1)	(-1,1)	(1,+)
F’(x)	—	+	—
F(x)

所以，在上單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
（2）證明：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即,令，即,則由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?/span>,所以，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對(duì)任意的正實(shí)數(shù)都有,即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，都有
（3）證明：不妨設(shè),由（2）知,設(shè)方程的根為，可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又由（2）知，可得。類似的，設(shè)曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，可得,當(dāng)，,即對(duì)任意。設(shè)方程的根為,可得，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，且因此.由此可得,因?yàn)?/span>，所以,故,所以
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義(通過(guò)圖像,我們可以看出當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當(dāng)點(diǎn)趨近于時(shí)，函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即)，還要掌握基本求導(dǎo)法則(若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo))的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．