Question

【題目】一直函數,其中
（1）討論的單調性
（2）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數，都有
（3）若關于的方程（為實數）有兩個正實根,求證：

Answer 1

【答案】
（1）

當為奇數時，在上單調遞減，在內單調遞增；當為偶數時，在上單調遞增，在上單調遞減1

（2）

見解答

（3）

見解答

【解析】（1）由,可得，其中且，下面分兩種情況討論：當為奇數時：令,解得或，當變化時，的變化情況如下表：

x	(-,-1)	(-1,1)	(1,+)
F’(x)	—	+	—
F(x)

所以，在上單調遞減，在內單調遞增；當為偶數時，當，即時，函數單調遞增；當，即時，函數單調遞減，所以，在上單調遞增，在上單調遞減
（2）證明：設點的坐標為,則，曲線在點處的切線方程為,即,令，即,則由于在上單調遞增，故在上單調遞減，又因為,所以，當時，,當時，，所以在內單調遞增，在內單調遞減，所以對任意的正實數都有,即對任意的正實數，都有
（3）證明：不妨設,由（2）知,設方程的根為，可得，當時，在上單調遞減，又由（2）知，可得。類似的，設曲線在原點處的切線方程為，可得,當，,即對任意。設方程的根為,可得，因為在上單調遞增，且因此.由此可得,因為，所以,故,所以
【考點精析】認真審題，首先需要了解導數的幾何意義(通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切．容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即)，還要掌握基本求導法則(若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導)的相關知識才是答題的關鍵．