Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為2．F₁、F₂分別是它的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是它的右頂點(diǎn)．過F₁作一條斜率為k（k≠0）的直線與雙曲線交于兩個點(diǎn)M、N．則∠MAN=（　�。�

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由于離心率e=2，可得c²=4a²=a²+b²，得到b²=3a²．雙曲線方程可表示為3x²-y²=3a²．設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線MN的方程為x=my-2a，與雙曲線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積

AM

•

AN

=0即可得出．

解答： 解：∵雙曲線的離心率e=2，∴c²=4a²=a²+b²，得到b²=3a²，
則雙曲線方程為3x²-y²=3a²．
設(shè)點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線MN的方程為x=my-2a，與雙曲線方程聯(lián)立得（3m²-1）y²-12amy+9a²=0，∴y₁+y₂=

12am

3m2-1

，y₁y₂=

9a2

3m2-1

，
則

AM

•

AN

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=（my₁-3a）（my₂-3a）+y₁y₂=0，
∴AM⊥AN
∴∠MAN=90°．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積運(yùn)算的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于中檔題．