Question

8．設(shè)點(diǎn)P，Q分別是曲線y=x+lnx和直線y=2x+2的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線y=2x+t與曲線y=x+lnx相切于點(diǎn)Q（a，b）．利用函數(shù)y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解得切點(diǎn)為Q（1，1）．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得Q到直線y=2x+2的距離d，即為所求．

解答 解：設(shè)直線y=2x+t與曲線y=x+lnx相切于點(diǎn)Q（a，b）．
y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+$\frac{1}{x}$，
切線的斜率為1+$\frac{1}{a}$=2，
解得a=1，b=1+ln1=1，
可得切點(diǎn)為Q（1，1）．
Q到直線y=2x+2的距離d=$\frac{|2-1+2|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
即有P、Q兩點(diǎn)間距離的最小值為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線的切線、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．