Question

19．如圖：點(diǎn)P在直徑AB=1的半圓上移動（點(diǎn)P不與A，B重合），過P作圓的切線PT且PT=1，∠PAB=α，
（1）當(dāng)α為何值時，四邊形ABTP面積最大？
（2）求|PA|+|PB|+|PC|的取值范圍？

Answer 1

分析 （1）由AB為圓的直徑，利用圓周角定理得到∠APB為直角，再由AB=1，表示出PA與PB，根據(jù)PT與圓相切，表示出BC，進(jìn)而表示出四邊形ABTP的面積，整理后，利用正弦函數(shù)的值域及二次函數(shù)性質(zhì)確定出最大值即可；
（2）把表示出的PA，PB，PC代入所求式子，設(shè)t=cosα+sinα，可得出t²=1+2cosαsinα，進(jìn)而表示出cosαsinα，代入所求式子整理為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域及二次函數(shù)性質(zhì)確定出范圍即可．

解答 解：（1）∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，AB=1，
∵∠PAB=α，
∴PA=cosα，PB=sinα，
又PT切圓于P點(diǎn)，∠TPB=∠PAB=α，
∴BC=sinα•PB=sin²α，
∴S_{四邊形ABTP}=S_△PAB+S_△TPB
=$\frac{1}{2}$PA•PB+$\frac{1}{2}$PT•BC
=$\frac{1}{2}$sinαcosα+$\frac{1}{2}$sin²α
=$\frac{1}{4}$sin2α+$\frac{1}{4}$（1-cos2α）
=$\frac{1}{4}$（sin2α-cos2α）+$\frac{1}{4}$
=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin（2α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{4}$，
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$＜2α-$\frac{π}{4}$＜$\frac{3}{4}$π，
∴當(dāng)2α-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{3}{8}$π時，S_{四邊形ABTP}最大；
（2）|PA|+|PB|+|PC|=cosα+sinα+sinαcosα，
設(shè)t=cosα+sinα，則t²=cos²α+sin²α+2cosαsinα=1+2cosαsinα，
∴cosαsinα=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴|PA|+|PB|+|PC|=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$+t=$\frac{{t}^{2}}{2}$+t-$\frac{1}{2}$，
∵t=cosα+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，且t=-1∉（1，$\sqrt{2}$]，
∴|PA|+|PB|+|PC|=$\frac{{t}^{2}}{2}$+t-$\frac{1}{2}$在t∈（1，$\sqrt{2}$]時單調(diào)遞增，
則（|PA|+|PB|+|PC|）∈（1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評 此題考查了與圓有關(guān)的比例線段，正弦函數(shù)的定義域與值域，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及二次函數(shù)性質(zhì)，熟練掌握三角函數(shù)的恒等變換是解本題的關(guān)鍵．