Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點．
（Ⅰ）若橢圓上的點A（1，

3

2

）到點F₁、F₂的距離之和等于4，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動點，求線段F₁P的中點M的軌跡方程．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題,軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）若橢圓上的點A到點F₁、F₂的距離之和等于4，可求a，利用點A（1，

3

2

）在橢圓上，求出b，即可得到求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點P是（Ⅰ）中所得橢圓C上的動點，確定P，M坐標之間的關(guān)系，即可求線段F₁P的中點M的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）由橢圓上的點A到點F₁、F₂的距離之和是4，可得2a=4，即a=2．（1分）
又點A（1，

3

2

）在橢圓上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1，解得b²=3，于是c²=1…（2分）
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（3分）
（Ⅱ）設橢圓C上的動點P的坐標為（x₁，y₁），點M的坐標為（x，y）．
由（Ⅰ）知，點F₁的坐標為（-1，0），則x=

-1+x1

2

，y=

y1

2

，即x₁=2x+1 y₁=2y…（5分）
因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1，即(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1為所求的軌跡方程…（6分）

點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查代入法求軌跡方程，確定坐標之間的關(guān)系是關(guān)鍵．