Question

已知向量

m

=（cosx，sin（

π

2

+x）），

n

=（2

3

sinx，2cosx）．
（Ⅰ）若

m

≠0，

m

∥

n

，求tan2x的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

，求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由向量共線的坐標(biāo)表示和誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的商數(shù)關(guān)系和二倍角的正切公式，計(jì)算即可得到；
（Ⅱ）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，由二倍角的正弦、余弦公式和兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得到最大值和x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）向量

m

=（cosx，sin（

π

2

+x）），

n

=（2

3

sinx，2cosx）．
若

m

≠0，

m

∥

n

，則2cos²x=2

3

sinxsin（

π

2

+x），
即cos²x=

3

sinxcosx，（cosx≠0），
即有tanx=

3

3

，
tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

2× 3 3

1- 1 3

=

3

；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=

m

•

n

=2

3

sinxcosx+2cosxsin（

π

2

+x）
=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
當(dāng)2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，f（x）取得最大值，且為3，
此時(shí)x的取值集合為{x|x=x=kπ+

π

6

，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查誘導(dǎo)公式和二倍角公式及兩角和的正弦公式，同時(shí)考查正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．