Question

15．定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（2x）=af（x）（a＞0）；②當(dāng)1≤x≤2時(shí)，$f（x）=\frac{1}{2}|sin（πx）|$．若分別以函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和相應(yīng)極值為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)都在一條直線上，則a的值為1或2．

Answer 1

分析 當(dāng)1≤x≤2時(shí)，對應(yīng)的點(diǎn)A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）；當(dāng)2≤x≤4時(shí)，對應(yīng)的點(diǎn)A₂（3，$\frac{a}{2}$）；當(dāng)4≤x≤8時(shí)，對應(yīng)的點(diǎn)A₃（6，$\frac{1}{2}$a²）；
A₁，A₂，A₃三點(diǎn)共線，由斜率相等得a的值為1或2；

解答 解：當(dāng)1≤x≤2時(shí)，$f（x）=\frac{1}{2}|sin（πx）|$，極值為f（$\frac{3}{2}$）=1，對應(yīng)的點(diǎn)A₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=a|f（$\frac{x}{2}$）|=$\frac{1}{2}$a|sin$\frac{π}{2}x$|，極值為f（3）=a，對應(yīng)的點(diǎn)A₂（3，$\frac{a}{2}$）；
當(dāng)4≤x≤8時(shí)，f（x）=a²|f（$\frac{x}{2}$）|=$\frac{1}{2}$a²|sin$\frac{π}{2}x$|，極值為f（6）=a，對應(yīng)的點(diǎn)A₃（6，$\frac{1}{2}$a²）；
∵分別以函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)和相應(yīng)極值為橫、縱坐標(biāo)的點(diǎn)都在一條直線上，∴A₁，A₂，A₃三點(diǎn)共線，由斜率相等得a的值為1或2；
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=1時(shí)，直線方程為y=$\frac{1}{2}$，當(dāng)a=2時(shí)，直線為y=$\frac{1}{3}x$，符合題意．
故答案為：1，2

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．