Question

12．試用函數單調性的定義證明：$f（x）=\frac{2x}{x-1}$在（1，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析 先將原函數變成f（x）=2+$\frac{2}{x-1}$，根據減函數的定義，設x₁＞x₂＞1，通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 證明：f（x）=2+$\frac{2}{x-1}$；
設x₁＞x₂＞1，則：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上是單調減函數．

點評 考查分離常數法化簡函數解析式，減函數的定義，以及根據減函數的定義證明一個函數為減函數的方法及過程．