Question

已知cos(α-

β

2

)=-

1

9

，sin(

α

2

-β)=

2

3

，0＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和角的范圍可得sin（α-

β

2

）和cos（

α

2

-β）的值，由兩角差的余弦公式可得cos（

α+β

2

）的值，再由二倍角的余弦公式可得．

解答： 解：∵0＜α＜π，0＜β＜

π

2

，∴-

π

4

＜α-

β

2

＜π，
又∵cos(α-

β

2

)=-

1

9

，∴

π

2

＜α-

β

2

＜π，
∴sin（α-

β

2

）=

1-cos2(α- β 2 )

=

4 5

9

；
同理由sin(

α

2

-β)=

2

3

可得cos（

α

2

-β）=

5

3

，
∴cos（

α+β

2

）=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]
=cos（α-

β

2

）cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）
=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

∴cos（α+β）=2cos²（

α+β

2

）-1=-

239

729

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．