Question

如圖，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ＝2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連結(jié)GH．

（1）求證：AB∥GH；

（2）求平面PAB與平面PCD所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）欲證結(jié)合條件中出現(xiàn)的中點(diǎn)，因此可以考慮利用三角形的中位線性質(zhì)定理來證明線線平行：由，，，分別是，，，的中點(diǎn)，可知，，故，從而有平面，再根據(jù)性質(zhì)“一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行”，可知平面，平面平面，故有；（2）根據(jù)條件為中點(diǎn)及可知，再結(jié)合條件平面，因此可以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可知為平面的一個法向量，再設(shè)平面的一個法向量為，由，，得，取，得，因此兩個法向量夾角的余弦值，從而平面與平面所成角的正弦值為．

試題解析：（1）∵，，，分別是，，，的中點(diǎn)， 1分

∴，， 2分 ∴，

又∵平面，平面， ∴平面， 3分

又∵平面，平面平面， 4分 ∴，

又∵，∴； 6分

（2）在中，∵，，∴，即，

又∵平面，∴，，兩兩垂直，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，(注：坐標(biāo)寫對給2分)

∴，， 8分

設(shè)平面的一個法向量為，

由，，得，取，得， 10分

又∵為平面的一個法向量，∴，

故平面與平面所成角的正弦值為． 12分

考點(diǎn)：1．線線平行的證明；2．利用空間向量求線面角．