Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣m在[﹣ ，3]上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=ex﹣ex+4n2﹣2n（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），如果對(duì)任意的x1 ， x2∈[ ，2]，都有f（x1）≤h（x2）恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）．

因?yàn)楫?dāng)x＜﹣1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣1，1）

（2）解：要使函數(shù)g（x）=f（x）﹣m在[- ，3]上有三個(gè)零點(diǎn)，就是要方程f（x）﹣m=0在[- ，3]上有三個(gè)實(shí)根，也就是只要函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=m的圖像在[﹣ ，3]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)．

由（1）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣1，1）上單調(diào)遞減；

所以f（x）在x=﹣1處取得極大值f（﹣1）=2，在x=1處取得極小值f（1）=﹣2．

又f（- ）= ，f（3）=18．

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為

（3）解：對(duì)任意的 ，都有f（x1）≤h（x2）恒成立，等價(jià)于當(dāng) 時(shí)，f（x）max≤h（x）min成立．

由（1）知，f（x）在[ ，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，且 ，f（2）=2，所以f（x）在[ ，2]上的最大值f（x）max=2．

又h′（x）=ex﹣e，令h′（x）=0，得x=1．

因?yàn)楫?dāng)x＜1時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0；所以h（x）在[ ，1]上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增；故h（x）在[ ，2]上的最小值h（x）min=h（1）=4n2﹣2n．

所以4n2﹣2n≥2，解得 或n≥1，故實(shí)數(shù)n的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]∪[1，+∞）

【解析】（1）直接求導(dǎo)數(shù)，然后解不等式可得原函數(shù)的增減區(qū)間；（2）利用數(shù)形結(jié)合，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=m的交點(diǎn)問(wèn)題，只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)y=f（x）的極值、最值即可；（3）因?yàn)閔（x）與f（x）是兩個(gè)不同的函數(shù)，所以該不等式恒成立只需f（x）max≤h（x）min即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．