Question

8．已知冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=$\sqrt{f（x）}$+2x+c，若g（x）＞2對任意的x∈R恒成立，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．可得-m²+2m+3＞0，且-m²+2m+3為偶數(shù)，解出即可得出．
（2）函數(shù)g（x）=$\sqrt{f（x）}$+2x+c=x²+2x+c，g（x）＞2，化為c＞-x²-2x+2=-（x+1）²+3，依題意，c＞[-（x+1）²+3]_max．

解答 解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$（m∈Z）為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
∴-m²+2m+3＞0，且-m²+2m+3為偶數(shù)，
解得m=1，
∴f（x）=x⁴．
（2）函數(shù)g（x）=$\sqrt{f（x）}$+2x+c=x²+2x+c，
g（x）＞2，化為c＞-x²-2x+2=-（x+1）²+3≤3．
∵g（x）＞2對任意的x∈R恒成立，
∴c＞[-（x+1）²+3]_max=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號．
∴實數(shù)c的取值范圍是c＞3．

點(diǎn)評 本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．