8．設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1+a2+a3=1，求證：$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$≥9．

分析 由a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1+a2+a3=1，運(yùn)用乘1法和三元均值不等式，以及不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 證明：因?yàn)閍1，a2，a3均為正數(shù)，且a1+a2+a3=1，
所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}$=$（{a_1}+{a_2}+{a_3}）（{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}}）$
$≥3{（{{a_1}{a_2}{a_3}}）^{\frac{1}{3}}}•3{（{\frac{1}{a_1}\frac{1}{a_2}\frac{1}{a_3}}）^{\frac{1}{3}}}=9$，
（當(dāng)且僅當(dāng)${a_1}={a_2}={a_3}=\frac{1}{3}$時(shí)等號(hào)成立）
所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}≥9$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用三元均值不等式和不等式的性質(zhì)，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．設(shè)f（x）=|x-m|+|x+m|，x∈R．記不等式f（2）＞5的解集為M．
（1）若m0∈M，求m02+$\frac{64}{{{m}_{0}}^{2}+1}$的最小值；
（2）若a，b∈M，證明：16a2b2+625＞100a2+100b2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M：（x-x0）2+（y-y0）2=r2作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P、Q，直線OP，OQ的斜率分別記為k1，k2．
（1）若圓M與x軸相切于橢圓C的左焦點(diǎn)，求圓M的方程；
（2）若r=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
①求證：k1k2為定值；
②求|OP|•|OQ|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

16．已知點(diǎn)M（-3，0），N（3，0），B（2，0），動(dòng)圓C與直線MN切于點(diǎn)B，過(guò)M，N與圓C相切的兩直線交于點(diǎn)P，則P的軌跡方程為（　�。�
A．$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＜-2）B．$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＞2）C．$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＞0）D．$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x＞0）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

3．設(shè)正數(shù)a，b，c滿足a+b+c≤3，求證：$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$+$\frac{1}{c+1}$≥$\frac{3}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

13．有兩顆正四面體的玩具，其四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，下面做投擲這兩個(gè)正四面體玩具的試驗(yàn)：用（x，y）表示結(jié)果，其中x表示第1顆出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)（面朝下的數(shù)字），y表示第2顆出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)（面朝下的數(shù)字）．
（1）求事件“點(diǎn)數(shù)之和不小于4”的概率；
（2）求事件“點(diǎn)數(shù)之積能被2或3整除”的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD為矩形，A（1，0），B（2，0），C（2，$\sqrt{6}$），又A1（-1，0）．點(diǎn)M在直線CD上，點(diǎn)N在直線BC上，且$\overrightarrow{DM}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BN}$=λ$\overrightarrow{BC}$（λ∈R）．
（1）求直線AM與A1N的交點(diǎn)Q的軌跡S的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（1，1）能否作一條直線l，與曲線S交于E、F兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：選擇題

17．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P（X=i）=a（$\frac{1}{2}$）i，i=1，2，3，4，則實(shí)數(shù)a的值為（　�。�
A．1B．$\frac{8}{15}$C．$\frac{16}{15}$D．$\frac{8}{7}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

18．用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明下列不等式
（1）已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，證明不等式$\frac{a+b}{2}•\frac{b+c}{2}•\frac{c+a}{2}$≥abc；
（2）求證：當(dāng)a＞1時(shí)，$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$．

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