Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD為矩形，A（1，0），B（2，0），C（2，$\sqrt{6}$），又A₁（-1，0）．點(diǎn)M在直線CD上，點(diǎn)N在直線BC上，且$\overrightarrow{DM}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BN}$=λ$\overrightarrow{BC}$（λ∈R）．
（1）求直線AM與A₁N的交點(diǎn)Q的軌跡S的方程；
（2）過點(diǎn)P（1，1）能否作一條直線l，與曲線S交于E、F兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由題意M（$\frac{1+2λ}{1+λ}$，$\sqrt{6}$），N（2，$\frac{\sqrt{6}λ}{1+λ}$），求出直線AM、直線A₁N的方程，消去參數(shù)，即可求直線AM與A₁N的交點(diǎn)Q的軌跡S的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），點(diǎn)B（x₂，y₂），得到2x₁²-y₁²=2 ①，2x₂²-y₂²=2 ②然后，①-②并結(jié)合有關(guān)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．

解答 解：（1）由題意M（$\frac{1+2λ}{1+λ}$，$\sqrt{6}$），N（2，$\frac{\sqrt{6}λ}{1+λ}$），
∴直線AM的方程為y-0=$\frac{\sqrt{6}（1+λ）}{λ}$（x-1），直線A₁N的方程為y-0=$\frac{\sqrt{6}λ}{3（1+λ）}$（x+1），
兩式相乘可得y²=2（x²-1），即x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），直線的斜率為k，
則2x₁²-y₁²=2 ①
2x₂²-y₂²=2 ②
①-②得2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴2×2-2k=0，
∴k=2，
∴y-1=2（x-1），
∴直線l的方程為2x-y-1=0，
y=2x-1，代入x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，整理可得x²-2x+2=0，△＜0，∴直線l不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了雙曲線的方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系、中點(diǎn)弦問題等知識(shí)，處理中點(diǎn)弦問題時(shí)，常常采用“點(diǎn)差法”進(jìn)行處理．