Question

18．用適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明下列不等式
（1）已知a，b，c是正實(shí)數(shù)，證明不等式$\frac{a+b}{2}•\frac{b+c}{2}•\frac{c+a}{2}$≥abc；
（2）求證：當(dāng)a＞1時(shí)，$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c是正實(shí)數(shù)，運(yùn)用均值不等式和不等式的可乘性，即可得證；
（2）運(yùn)用分析法證明，通過(guò)兩邊平方，化簡(jiǎn)整理，可得a²-1＜a²，這顯然成立，即可得證．

解答 證明：（1）∵a，b，c是正實(shí)數(shù)，
∴$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$，$\frac{b+c}{2}≥\sqrt{bc}$，$\frac{c+a}{2}≥\sqrt{ca}$，
∴$\frac{a+b}{2}•\frac{b+c}{2}•\frac{c+a}{2}≥abc$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立．
（2）∵$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＞0，2\sqrt{a}＞0$，
∴只要證${（\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}）^2}＜{（2\sqrt{a}）^2}$，
即要證$2a+2\sqrt{{a^2}-1}＜4a$，
即要證$\sqrt{{a^2}-1}＜a$，
即要證a²-1＜a²，這顯然成立，
所以當(dāng)a＞1時(shí)，$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用均值不等式和分析法證明，考查運(yùn)算和推理能力，屬于中檔題．