Question

18．用適當?shù)姆椒ㄗC明下列不等式
（1）已知a，b，c是正實數(shù)，證明不等式$\frac{a+b}{2}•\frac{b+c}{2}•\frac{c+a}{2}$≥abc；
（2）求證：當a＞1時，$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$．

Answer 1

分析 （1）由a，b，c是正實數(shù)，運用均值不等式和不等式的可乘性，即可得證；
（2）運用分析法證明，通過兩邊平方，化簡整理，可得a²-1＜a²，這顯然成立，即可得證．

解答 證明：（1）∵a，b，c是正實數(shù)，
∴$\frac{a+b}{2}≥\sqrt{ab}$，$\frac{b+c}{2}≥\sqrt{bc}$，$\frac{c+a}{2}≥\sqrt{ca}$，
∴$\frac{a+b}{2}•\frac{b+c}{2}•\frac{c+a}{2}≥abc$，
當且僅當a=b=c時等號成立．
（2）∵$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＞0，2\sqrt{a}＞0$，
∴只要證${（\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}）^2}＜{（2\sqrt{a}）^2}$，
即要證$2a+2\sqrt{{a^2}-1}＜4a$，
即要證$\sqrt{{a^2}-1}＜a$，
即要證a²-1＜a²，這顯然成立，
所以當a＞1時，$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}＜2\sqrt{a}$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用均值不等式和分析法證明，考查運算和推理能力，屬于中檔題．