如圖所示，邊長為a的等邊△ABC的中心是G，直線MN經(jīng)過G點與AB、AC分別交于M、N點，已知∠MGA=α（
π
3
≤α≤
2π
3
）．
（1）設(shè)S1、S2分別是△AGM、△AGN的面積，試用α表示S1、S2；
（2）當(dāng)線段MN繞G點旋轉(zhuǎn)時，求y=
1
S12
+
1
S22
的最大值和最小值．
考點：不等式的實際應(yīng)用
專題：綜合題,解三角形
分析：（1）根據(jù)G是邊長為1的正三角形ABC的中心，可求得AG，進而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面積公式求得S1，同理可求得S2
（2）把（1）中求得S1與S2代入求得函數(shù)的解析式，進而根據(jù)α的范圍和余切函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值．
解答：解：（1）因為G是邊長為a的正三角形ABC的中心，
所以AG=
3
3
a，∠MAG=
π
6
，
由正弦定理得GM=
3
a
6sin(α+
π
6
)

則S1=
1
2
GM•GA•sinα=
asinα
12sin(α+
π
6
)

同理可求得S2=
asinα
12sin(α-
π
6
)

（2）y=
1
S12
+
1
S22
=
144
a2sin2α
[sin2(α+
π
6
)+sin2(α-
π
6
)]
=
72
a2
（3+cot2α）
因為
π
3
≤α≤
2π
3
，
所以當(dāng)a=
π
3
或a=
2π
3
時，y取得最大值ymax=
240
a2

當(dāng)a=
π
2
時，y取得最小值ymin=
216
a2
．
點評：本題主要考查了解三角形問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，
CM
=2
MB
，過點M的直線分別交射線AB、AC于不同的兩點P、Q，若
AP
=m
AB
，
AQ
=n
AC
，則mn+m的最小值為（　�。�
A、6
3
B、2
3
C、6
D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線的參數(shù)方程為
x=4t2
y=4t
，（t為參數(shù)），焦點為F，準線為l，過拋物線上一點P作PE⊥l于E，若直線EF的傾斜角為150°，則|PF|=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x∈[-1，1]時，f（x）=x2-ax+
a
2
＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、（0，2）
B、（2，+∞）
C、（0，+∞）
D、（0，4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=32x-（k+1）3x+2，當(dāng)x∈R時，f（x）恒為正值，則k的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）
B、（-∞，2
2
-1）
C、（-1，2
2
-1）
D、（-2
2
-1，2
2
-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=cos2x+sinx（x∈[-
π
4
，
π
4
]）的最大值和最小值分別為（　�。�
A、1，-1
B、
1+
2
2
，-
1
2
C、
1+
2
2
，
1-
2
2
D、
5
4
，
1-
2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知過拋物線y2=4x的焦點F的直線l與拋物線相交于A、B兩點，若線段AB的中點M的橫坐標(biāo)為3，則線段AB的長度為（　　）
A、6B、8C、10D、12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P為拋物線x2=12y的焦點，A、B是雙曲線3x2-y2=12的兩個頂點，則△APB的面積為（　�。�
A、12B、8C、6D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y1=sin2x1-
3
2
（x1∈[0，π]），函數(shù)y2=x2+3，則（x1-x2）2+（y1-y2）2的最小值為（　�。�
A、
2
12
π
B、
(π+18)2
72
C、
(π+8)2
12
D、
(π-3
3
+15)2
72

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同步練習(xí)冊答案