Question

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB=1，AA1= ，D為AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，CO⊥側(cè)面ABB1A1 ．

（1）證明：BC⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意，因?yàn)锳BB1A1是矩形，

D為AA1中點(diǎn)，AB=1，AA1= ，AD= ，

所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B= ，

在直角三角形ABD中，tan∠ABD= ，

所以∠AB1B=∠ABD，

又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，

所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，

即BD⊥AB1，

又因?yàn)镃O⊥側(cè)面ABB1A1，AB1側(cè)面ABB1A1，

所以CO⊥AB1

所以，AB1⊥面BCD，

因?yàn)锽C面BCD，

所以BC⊥AB1．

（2）解：如圖，分別以O(shè)D，OB1，OC所在的直線為x，y，z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，﹣ ，0），B（﹣ ，0，0），C（0，0， ），B1（0， ，0），D（ ，0，0），

又因?yàn)? =2 ，所以

所以 =（﹣ ， ，0）， =（0， ， ）， =（ ），

設(shè)平面ABC的法向量為 =（x，y，z），

則根據(jù) 可得 =（1， ，﹣ ）是平面ABC的一個(gè)法向量，

設(shè)直線C1D與平面ABC所成角為α，則sinα= ．

【解析】（1）要證明BC⊥AB1 ， 可證明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于側(cè)面ABB1A1 ， 所以CO垂直于AB1 ， 只要在矩形ABB1A1內(nèi)證明BD垂直于AB1即可，可利用角的關(guān)系加以證明；（2）分別以O(shè)D，OB1 ， OC所在的直線為x，y，z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出 ，平面ABC的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握空間角的異面直線所成的角和用空間向量求直線與平面的夾角是解答本題的根本，需要知道已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則；設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的夾角為，　則為的余角或的補(bǔ)角的余角.即有：．