【題目】已知函數(shù)
(I)若函數(shù)處取得極值,求實(shí)數(shù)的值;并求此時上的最大值;
(Ⅱ)若函數(shù)不存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
【答案】(1)最大值為;(2)實(shí)數(shù)的取值范圍是。
【解析】試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)的極值的概念得到, ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值。(2)研究函數(shù)的單調(diào)性,找函數(shù)和軸的交點(diǎn),使得函數(shù)和軸沒有交點(diǎn)即可;分和,兩種情況進(jìn)行討論。
解析:
(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽, ,
, .
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以時取極小值.
所以所求實(shí)數(shù)的值為1.
易知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
且 .
當(dāng)時, 在的最大值為
(2),由于.
①當(dāng)時, 是增函數(shù),
且當(dāng)時, .
當(dāng)時, , ,取,
則,所以函數(shù)存在零點(diǎn).
②當(dāng)時, .
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以時取最小值.
函數(shù)不存在零點(diǎn),等價于,
解得.
綜上所述:所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)的圖象全部在直線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉行一次“環(huán)保知識競賽”,全校學(xué)生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(得分取正整數(shù),滿分為分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì),請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的樣本的頻率分布表和頻率分布直方圖(如圖所示)解決下列問題:
(Ⅰ)寫出, , , 的值.
(Ⅱ)在選取的樣本中,從競賽成績是分以上(含分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取名同學(xué)到廣場參加環(huán)保知識的志愿宣傳活動,求所抽取的名同學(xué)來自同一組的概率.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設(shè)表示所抽取的名同學(xué)中來自第組的人數(shù),求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
組別 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
第組 | |||
合計(jì) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)
(Ⅰ)求不等式的解集;
(Ⅱ)已知函數(shù)的最小值為,若實(shí)數(shù)且,求的
最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題:今有牛、馬、羊食人苗,苗主責(zé)之粟五斗,羊主曰:“我羊食半馬.”馬主曰:“我馬食半牛.”今欲衰償之,問各出幾何?此問題的譯文是:今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗,禾苗主人要求賠償5斗粟.羊主人說:“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說:“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例償還,他們各應(yīng)償還多少?已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還升, 升, 升,1斗為10升,則下列判斷正確的是( )
A. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
B. , , 依次成公比為2的等比數(shù)列,且
C. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
D. , , 依次成公比為的等比數(shù)列,且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況,抽查東西兩部各5個城市,得到觀看該節(jié)目的人數(shù)(單位:千人)如下莖葉圖所示,其中一個數(shù)字被污損.
(I)求東部觀眾平均人數(shù)超過西部觀眾平均人數(shù)的概率.
(II)節(jié)目的播出極大激發(fā)了觀眾隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語知識的的時間y (單位:小時)與年齡x(單位:歲),并制作了對照表(如下表所示):
由表中數(shù)據(jù)分析,x,y呈線性相關(guān)關(guān)系,試求線性回歸方程,并預(yù)測年齡為60歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語知識的時間.
參考數(shù)據(jù):線性回歸方程中的最小二乘估計(jì)分別是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測,如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位:克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖,其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106].已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36,則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是( )
A. 90 B. 75
C. 60 D. 45
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)f(x)的最小值為-4,且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(I)若,求曲線在處的切線方程;
(II)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(III)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
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