Question

1．正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)2為的正方形，其他四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{5}$的等腰三角形．
（1）求正四棱錐V-ABCD的體積．
（2）求二面角V-BC-A的平面角的大小．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)VO，求出正四棱錐V-ABCD的高VO=$\sqrt{3}$，由此能求出正四棱錐V-ABCD的體積．
（2）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)OE，VE，則OE⊥BC，VE⊥BC，∠VEO是二面角V-BC-A的平面角，由此能求出二面角V-BC-A的平面角的大小．

解答 解：（1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)VO，
∵正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)2為的正方形，
其他四個(gè)側(cè)面都是側(cè)棱長(zhǎng)為$\sqrt{5}$的等腰三角形，
∴AO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，VO=$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{3}$，
∴正四棱錐V-ABCD的高VO=$\sqrt{3}$，
∴正四棱錐V-ABCD的體積：
V_V-ABCD=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×VO$=$\frac{1}{3}×2×2\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）取BC中點(diǎn)E，連結(jié)OE，VE，
則OE⊥BC，VE⊥BC，∴∠VEO是二面角V-BC-A的平面角，
∵VO=$\sqrt{3}$OE=1，
∴tan$∠VEO=\frac{VO}{VE}$=$\sqrt{3}$，∴∠VEO=60°．
∴二面角V-BC-A的平面角的大小為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正四棱錐的體積的求法，考查二面角的平面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．