Question

（22）已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意的a，b∈R都滿足：

f（a·b）=af（b）+bf（a）.

（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；

（Ⅱ）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）若f（2）=2，u_n=f（2ⁿ）（n∈N），求證u_n+1＞u_n（n∈N）.

Answer 1

（22）本小題主要考查函數(shù)與數(shù)列等基本知識(shí)，考查分析問題和解決問題的能力.

（Ⅰ）解：f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0，

    由f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1），得f（1）=0.

 

（Ⅱ）f（x）是奇函數(shù)

證明：因?yàn)?I>f（1）=f［（－1）²］=－f（－1）－f（－1）=0，

所以f（－1）=0，

f（－x）=f（－1·x）=－f（x）+xf（－1）=－f（x），

因此，f（x）為奇函數(shù)，

 

（Ⅲ）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明u_n=f（2ⁿ）＞0（n∈N）.

（1）當(dāng)n=1時(shí)，u₁=f（2）=2＞0;

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，u_k=f（2^k）＞0，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，u_k+1=f（2^k+1）=2f（2^k）+2 ^kf（2）=2f（2 ^k）+2 ^k+1＞0.

由以上兩步可知，對(duì)任意n∈N，u_n=f（2ⁿ）＞0.                 

因?yàn)?nbsp; u_n＞0（n∈N），

所以  u_n+1=f（2ⁿ⁺¹）=2f（2ⁿ）+2ⁿf（2）

          =2u_n+2ⁿ⁺¹＞u_n （n∈N）.