Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 點G在橢圓C上，且 =0，△GF1F2的面積為2．

（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=k（x﹣1）（k＜0）與橢圓Γ相交于A，B兩點．點P（3，0），記直線PA，PB的斜率分別為k1 ， k2 ， 當 最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓 （a＞b＞0）的離心率為 ，

∴e= ，①

∵左右焦點分別為F1、F2，點G在橢圓上，

∴| |+| |=2a，②

∵ =0，△GF1F2的面積為2，

∴| |2+| |2=4c2，③

，④

聯立①②③④，得a2=4，b2=2，

∴橢圓C的方程為 ；

（2）解：聯立 ，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

∴ ．

= =

= ，當且僅當 時，取得最值．

此時l：y=

【解析】（1）由橢圓的離心率為 、點G在橢圓上、 =0及△GF1F2的面積為2列式求得a2=4，b2=2，則橢圓方程可求；（2）聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系得到A，B兩點橫坐標的和與積，把 轉化為含有k的代數式，利用基本不等式求得使 取得最大值的k，則直線Γ的方程可求．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．