Question

如果對定義在R上的函數(shù)f（x），對任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）則稱函數(shù)f（x）為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：
①y=-x³+x+1；
②y=3x-2（sinx-cosx）；
③y=e^x+1；
④f（x）=

ln|x|，x≠0 0，x=0

．
其中函數(shù)式“H函數(shù)”的個數(shù)是（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的圖象

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①y=-x³+x+1；y'=-3x²+1，則函數(shù)在定義域上不單調(diào)．
②y=3x-2（sinx-cosx）；y'=3-2（cosx+sinx）=3-2

2

sin（x+

π

4

）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．
③y=e^x+1為增函數(shù)，滿足條件．
④f（x）=

ln|x|，x≠0 0，x=0

，當(dāng)x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．
綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為②③，
故選C．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．