Question

在一個圓柱中挖去一個內(nèi)接正四棱錐O-ABCD（頂點是上面底面積圓的圓心O，底面是下底面的內(nèi)接正方形），得到如圖所示的幾何體，已知圓柱底面直徑為4

2

，正四棱錐的側(cè)棱長為6．
（1）求正四棱錐O-ABCD的側(cè)面積；
（2）求該幾何體的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）求解斜高h′=

36-4

=4

2

，運用正四棱錐O-ABCD的側(cè)面積=4×

1

2

×4×4

2

=32

2

，求解即可．
（2）求解棱錐的高h═

36-8

=2

7

，運用體積公式求解：內(nèi)接正四棱錐O-ABCD的體積，圓柱的體積，作差即可．

解答： 解：（1）∵圓柱底面直徑為4

2

，
∴底面邊長為4，
∵正四棱錐的側(cè)棱長為6．
∴斜高h′=

36-4

=4

2

，
∴正四棱錐O-ABCD的側(cè)面積=4×

1

2

×4×4

2

=32

2

，
（2）∵圓柱底面直徑為4

2

，正四棱錐的側(cè)棱長為6．
∴棱錐的高h=

36-8

=2

7

，
∴內(nèi)接正四棱錐O-ABCD的體積為：

1

3

×4×4×2

7

=

32 7

3

，
圓柱的體積為π×(2

2

)2×2

7

=16

7

π，
∴該幾何體的體積：16

7

π-

32 7

3

，

點評：本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，求解高，斜高問題，體積問題，屬于中檔題．