Question

8．已知點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₂，0），D（x₁，0），其中x₂＞0，x₁＞0，且${y_1}x_1^2-{x_1}+{y_1}=0$，${y_2}x_2^2-{x_2}+{y_2}=0$，若四邊形ABCD是矩形，則此矩形繞x軸旋轉一周得到的圓柱的體積的最大值為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由題意，可得x₁，x₂為方程mx²-x+m=0的兩個不同實數(shù)解，x₁+x₂=$\frac{1}{m}$，x₁x₂=1，表示出圓柱的體積，利用配方法，即可得出結論

解答 解：由題意，令y₁=y₂=m，x₁，x₂為方程mx²-x+m=0的兩個不同實數(shù)解，
∴x₁+x₂=$\frac{1}{m}$，x₁x₂=1，
矩形繞x軸旋轉一周得到的圓柱的體積V=πm²|x₁-x₂|=πm²•$\sqrt{\frac{1}{{m}^{2}}-4}$=π$\sqrt{-4（{m}^{2}-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∴m²=$\frac{1}{8}$時，矩形繞x軸旋轉一周得到的圓柱的體積的最大值為$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查旋轉體的體積，考查韋達定理的運用，正確表示圓柱的體積是關鍵．