Question

在區(qū)間D上，如果函數(shù)f（x）為增函數(shù)，而函數(shù)

1

x

f（x）也是增函數(shù)，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“和諧”函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=1-

1

x

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上是否為“和諧”函數(shù)；
（Ⅱ）若P是函數(shù)f（x）圖象上的任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線x-2y=0的最短距離；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[

1

4

，

9

4

]時(shí)，不等式1-ax≤

1

x

≤1+2ax恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′（x）=

1

2x 3 2

＞0在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上恒成立，故f（x）在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上為增函數(shù)，從而

1

x

f（x）=

1

x

-

1

x 3 2

，又[

1

x

f（x）]′=

-2 x +3

2x 5 2

≥0在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上恒成立，故

1

x

f（x）在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上也為增函數(shù)，得f（x在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上為“和諧”函數(shù)；
（Ⅱ）由f′（x）=

1

2x 3 2

，令f′x）=

1

2

得x=1，又f（1）=0，得函數(shù)f（x）圖象在P（1，0）的切線與直線x-2y=0平行，此P到直線x-2y=0的距離最短，最短距離等于d=

5

5

；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[

1

4

，

9

4

]時(shí)，不等式1-ax≤

1

x

≤1+2ax恒成立等價(jià)于：

a≥ 1 x f(x) -2a≤ 1 x f(x)

恒成立，故-4≤

1

x

f（x）≤-

2

9

，故a≥2．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

2x 3 2

＞0在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上恒成立，
故f（x）在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上為增函數(shù)，
∵

1

x

f（x）=

1

x

-

1

x 3 2

，
又[

1

x

f（x）]′=

-2 x +3

2x 5 2

≥0在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上恒成立，故

1

x

f（x）在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上也為增函數(shù)，
∴f（x在區(qū)間[

1

4

，

9

4

]上為“和諧”函數(shù)；
（Ⅱ）∵f′（x）=

1

2x 3 2

，令f′x）=

1

2

得x=1，又f（1）=0，
所以函數(shù)f（x）圖象在P（1，0）的切線與直線x-2y=0平行，
此P到直線x-2y=0的距離最短，最短距離等于d=

5

5

；
（Ⅲ）當(dāng)x∈[

1

4

，

9

4

]時(shí)，不等式1-ax≤

1

x

≤1+2ax恒成立
等價(jià)于：

a≥ 1 x f(x) -2a≤ 1 x f(x)

恒成立，
由（1）知 

1

x

f（x）為增函數(shù)，
故-4≤

1

x

f（x）≤-

2

9

．
所以

a≥- 4 9 -2a≤-4

，故a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想