Question

18．如圖在三棱錐P-ABC中，已知AB⊥BC，PA⊥BC，PA=AB=BC=PB，點(diǎn)D，E分別為PB，BC的中點(diǎn)．
（1）求異面直線AD與PE所成的角；
（2）若F在線段AC上，且$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，求證AD∥平面PEF；
（3）求二面角P-AC-B的．

Answer 1

分析 （1）AB⊥BC，PA⊥BC，PA∩AB=A，可得BC⊥平面PAB，平面ABC⊥平面PAB．取AB的中點(diǎn)O，連接PO，可得PO⊥AB，PO⊥平面ABC．取AC的中點(diǎn)M，連接OM，利用三角形中位線定理及其線面垂直的性質(zhì)可得：OM⊥AB，OM⊥OP．不妨取AB=2，則PA=AB=BC=PB=2，計(jì)算出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}$即可得出．
（2）由F在線段AC上，且$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，可得$\overrightarrow{OF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$．設(shè)平面PEF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$，只要證明$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}$=0即可．
（3）設(shè)平面PAC的法向量為：$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，取平面ABC的法向量為$\overrightarrow{v}$=（0，0，1），利用$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{v}|}$即可得出．

解答 （1）解：∵AB⊥BC，PA⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB，又BC?平面BC，∴平面ABC⊥平面PAB．
平面ABC∩平面PAB=AB．
取AB的中點(diǎn)O，連接PO，則PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC，
取AC的中點(diǎn)M，連接OM，則$OM\underset{∥}{=}\frac{1}{2}BC$，
∴OM⊥AB，OM⊥OP．
不妨取AB=2，則PA=AB=BC=PB=2，
又點(diǎn)D，E分別為PB，BC的中點(diǎn)．
∴A（-1，0，0），O（0，0，0），B（1，0，0），P$（0，0，\sqrt{3}）$，C（1，2，0），D$（\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，E（1，1，0）．
∴$\overrightarrow{AD}$=$（\frac{3}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{EP}$=$（-1，-1，\sqrt{3}）$，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EP}$=$-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=0．
∴異面直線AD與PE所成的角為90°．
（2）證明：∵F在線段AC上，且$\frac{AF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，∴$\overrightarrow{OF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$=$（-\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，0）$．
設(shè)平面PEF的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
$\overrightarrow{PE}$=$（1，1，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{PF}$=$（-\frac{1}{3}，\frac{2}{3}，-\sqrt{3}）$．
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{y}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{-\frac{1}{3}{x}_{1}+\frac{2}{3}{y}_{1}-\sqrt{3}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{m}$=$（-1，4，\sqrt{3}）$．
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}$=$-\frac{3}{2}+0+\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=0，
又A∉平面PEF，
∴AD∥平面PEF；
（3）解：$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），
設(shè)平面PAC的法向量為：$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{3}{x}_{2}+\frac{2}{3}{y}_{2}-\sqrt{3}{z}_{2}=0}\\{2{x}_{2}+2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}$=$（-1，1，\frac{\sqrt{3}}{9}）$，
取平面ABC的法向量為$\overrightarrow{v}$=（0，0，1）．
∴$cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{v}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{9}}{1×\sqrt{2+\frac{1}{27}}}$=$\frac{\sqrt{55}}{55}$．
∴二面角P-AC-B的余弦值為$\frac{\sqrt{55}}{55}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量求空間距離與空間角、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、線面平行與垂直，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．