Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若x∈[0，+∞）時，恒有f（x）≤0，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：當m＞n＞0時，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

分析 （1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，從而確定f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）先確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，再根據(jù)f（x）在區(qū)間（-1，e-1）上單調(diào)遞增，建立不等式，從而可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）根據(jù)要證明的結(jié)論，利用分析法來證明本題，從結(jié)論入手，要證結(jié)論只要證明后面這個式子成立，兩邊取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為只要證明函數(shù)在一個范圍上成立，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的性質(zhì)．

解答 （1）解：函數(shù)f（x）的定義域為（-1，+∞），f′（x）=1-aln（x+1）-a，
當a=1時，f′（x）=-ln（x+1）
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，+∞）；
（2）解：①當a=0時，f′（x）=1＞0
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
②當a＞0時，令f′（x）=0，得x=${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1，
當f′（x）＞0時，得：-1＜x＜${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1，所以f（x）的遞增區(qū)間為：（-1，${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1]．
又因為f（x）在區(qū)間（-1，e-1）上單調(diào)遞增，
所以e-1≤${e}^{\frac{1-a}{a}}$-1，由此得a≤$\frac{1}{2}$，
綜上，得：0≤a≤$\frac{1}{2}$．
（3）要證：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m
只需證nln（1+m）＜mln（1+n），
只需證$\frac{ln（1+m）}{m}$＜$\frac{ln（1+n）}{n}$，設(shè)g（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$，
則g′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$=$\frac{x-（1+x）ln（1+x）}{{x}^{2}（1+x）}$，
由（1）知：即當a=1時，f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）單調(diào)遞減，
即x＞0時，有f（x）＜f（0），
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，
即當m＞n＞0時，g（m）＜g（n），
故原不等式成立．

點評 本題重點考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查化歸思想，考查構(gòu)造函數(shù)，是一個綜合題，解題時確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．