Question

已知函數(shù)f（x）=ln（a^x-b^x）（0＜b＜1＜a）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域G，并判斷f（x）在G上的單調(diào)性；
（Ⅱ）當a、b滿足什么條件時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由a^x-b^x＞0得（

a

b

）^x＞1，結(jié)合條件和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到定義域；再由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求的單調(diào)性；
（Ⅱ）根據(jù)所求的單調(diào)性，即可得到所求區(qū)間的最小值，令最小值大于0，即可得到滿足的條件．

解答： 解：（Ⅰ）由a^x-b^x＞0，得（

a

b

）^x＞1，
由于0＜b＜1＜a，則

a

b

＞1，即有x＞0，
則定義域為（0，+∞）；
由于0＜b＜1＜a，則a^x遞增，b^x遞減，則a^x-b^x遞增，
即有f（x）在（0，+∞）上遞增；
（Ⅱ）由于f（x）在（0，+∞）上遞增，
則f（x）在區(qū)間[1，+∞）上恒取正值，即為f（x）≥f（1）=ln（a-b），
即有l(wèi)n（a-b）＞0，即有a-b＞1．
則有當a、b滿足a-b＞1時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上恒取正值．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及運用，屬于中檔題．