Question

已知△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sinAcosC+

3

sinAsinC-sinB-sinC=0
（1）求A；
（2）若a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且a=2，△ABC的面積為

3

，求b，c．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由三角形內(nèi)角和定理得：B=π-（A+C），代入式子利用兩角和、差的正弦公式化簡(jiǎn)，由角A的范圍求出角A；
（2）根據(jù)三角形的面積公式、余弦定理列出兩個(gè)關(guān)于b、c的方程，再求值即可．

解答： 解：（1）因?yàn)锳+B+C=π，所以B=π-（A+C），
代入sinAcosC+

3

sinAsinC-sinB-sinC=0的，
sinAcosC+

3

sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，
sinAcosC+

3

sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0

3

sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
因?yàn)閟inC≠0，所以

3

sinA-cosA=1，
即sin(A-

π

6

)=

1

2

，
因?yàn)?＜A＜π，所以-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
則A-

π

6

=

π

6

，所以A=

π

3

；
（2）因?yàn)�，△ABC的面積為

3

，
所以

1

2

bcsinA=

3

，即bc=4，①
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則4═b²+c²-bc，即b²+c²=8，②
由①②解得，b=c=2，
所以b，c的值都是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的面積公式、余弦定理，及兩角和、差的正弦公式的應(yīng)用，熟練掌握定理和公式是解題的關(guān)鍵．