Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=3x+λ3﹣x（λ∈R）．
（1）若f（x）為奇函數(shù)，求λ的值和此時(shí)不等式f（x）＞1的解集；
（2）若不等式f（x）≤6對(duì)x∈[0，2]恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=3x+λ3﹣x為奇函數(shù)，

∴f（﹣x）+f（x）=3﹣x+λ3x+3x+λ3﹣x=（3x+3﹣x）+λ（3x+3﹣x）=（λ+1）（3x+3﹣x）=0，

∵3x+3﹣x＞0，∴λ+1=0，即λ=﹣1．

此時(shí)f（x）=3x﹣3﹣x，

由f（x）＞1，得3x﹣3﹣x＞1，即（3x）2﹣3x﹣1＞0，

解得： （舍），或3x＞ ，即x＞ ．

∴不等式f（x）＞1的解集為（ ）

（2）解：由f（x）≤6得3x+λ3﹣x≤6，即3x+ ≤6，

令t=3x∈[1，9]，

原不等式等價(jià)于t+ ≤6在t∈[1，9]上恒成立，

亦即λ≤6t﹣t2在t∈[1，9]上恒成立，

令g（t）=6t﹣t2，t∈[1，9]，

當(dāng)t=9時(shí)，g（t）有最小值g（9）=﹣27，

∴λ≤﹣27

【解析】（1）直接由f（﹣x）+f（x）=0求得λ值．把求得的λ值代入f（x），由f（x）＞1求得3x的范圍，進(jìn)一步求解指數(shù)不等式得答案；（2）由題意可得3x+ ≤6，令t=3x∈[1，9]，原不等式等價(jià)于λ≤6t﹣t2在t∈[1，9]上恒成立，令g（t）=6t﹣t2 ， t∈[1，9]，求得最小值，即可得到所求范圍．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇即可以解答此題．