Question

【題目】數(shù)列{xn}滿足x1=0，xn+1=﹣x2n+xn+c（n∈N*）．
（Ⅰ）證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當c＜0時，xn+1=﹣x2n+xn+c＜xn ，
∴{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列
充分條件
當{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列時
x1=0＞x2=﹣x21+x1+c
∴c＜0
綜上{xn}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
（Ⅱ）由（I）得，c≥0
①當c=0時，xn=x1=0，此時數(shù)列為常數(shù)列，不符合題意；
②當c＞0時，x2=c＞x1=0，x3=﹣c2+2c＞x2=c
∴0＜c＜1

0=x1≤xn＜ ， =﹣（xn+1﹣xn）（xn+1+xn﹣1），
當0＜c 時， xn﹣xn+1+1＞0xn+2﹣xn+1﹣1＜0，xn+2﹣xn+1與xn+1﹣xn同號，
由x2﹣x1=c＞0xn+1﹣xn＞0xn+1＞xn ．
= ．
當c 時，存在N使xN xN+xN+1＞1xN+2﹣xN+1與xN+1﹣xN異號，
與數(shù)列{xn}是從遞減數(shù)列矛盾．
所以當0＜c 時，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列
【解析】（Ⅰ）通過證明必要條件與充分條件，推出{xn}是從遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；（Ⅱ）由（I）得，c≥0，通過①當c=0時，②當c＞0時，推出0＜c＜1，當c 時，證明xn+1＞xn ． = ．當c 時，說明數(shù)列{xn}是從遞減數(shù)列矛盾．得到0＜c 時，數(shù)列{xn}是遞增數(shù)列．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的相關知識點，需要掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式才能正確解答此題．